費(fèi)馬（Pierre De Fermat )是法國數(shù)學(xué)家,1601年8月17日出生于法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅.費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問題：在三角形所在平面上,求一點(diǎn),使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”.
引例：有甲乙丙三個(gè)村莊,要在中間建一供水站向三地送水,現(xiàn)要確定供水站的位置以使所需管道總長最小?將此問題用數(shù)學(xué)模型抽象出來即為：
在△ ABC中確定一點(diǎn)P,使P到三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小.
解法如下：分別以AB AC為邊向外側(cè)作正三角形ABD ACE 連結(jié)CD BE交于一點(diǎn),則該點(diǎn) 即為所求P點(diǎn).
證明：如下圖所示.連結(jié)PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC 從而A、D、B、P四點(diǎn)共圓
∴∠APB=120° ,∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P為圓心,PA為半徑作圓交PD于F點(diǎn),連結(jié)AF,
以A為軸心將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,已證∠APD=60°
∴△APF為正三角形.∴不難發(fā)現(xiàn)△ABP與△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一異于P的點(diǎn)G ,同樣連結(jié)GA、GB、GC、GD,以B為軸心
將△ABG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,記G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到M點(diǎn)..
則△ABG與△BDM重合,且M或 在 線 段DG上 或 在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
從而CD為最短的線段.
以上是簡單的費(fèi)馬點(diǎn)問題,將此問題外推到四點(diǎn),可驗(yàn)證四邊形的對(duì)角線連線的交點(diǎn)即是所求點(diǎn).