導(dǎo)數(shù)那個(gè)就不多說了,根據(jù)羅爾中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),且f(a)=f(b),那么存在ξ∈[a,b],f'(ξ)=0,∴f'(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上各有一個(gè)ξ,f'(ξ)=0
第二個(gè)也不難：
方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b),g(x)=x^n-b^n
f(b)=g(b)=0
當(dāng)x>b>0時(shí),f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)
∴f'(x)＜g'(x)
∴[g(x)-f(x)]'＞0,當(dāng)x＞b時(shí),設(shè)h(x)=g(x)-f(x)
∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]
h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)
∵h(yuǎn)'(ξ)＞0,a-b＞0
∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)
另一邊：同理設(shè)f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)
即可證.
方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1
∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)
∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n