是.可以簡(jiǎn)單證明一下：
取可逆陣D,使得A=D^TD,D^T是D的轉(zhuǎn)置.
則A--B=D^T(E--D^(--T)BD^(--1))D,
于是E--D^(--T)BD^(--1)是正定陣,
D^(--T)BD^(--1)的特征值都大于0小于1,
于是其行列式大于0小于1,即
det(B)/det(A)=det(B)*det(A^(--1))<1,
det(B)0，故1--a>0，a<1。 這些結(jié)論都是應(yīng)該記住的吧。后面都懂，只是為什么E--D^(--T)BD^(--1)是正定陣，就有D^(--T)BD^(--1)是正定陣不是因?yàn)镋--D^(--T)BD^(--1)是正定陣，才有結(jié)論。 而是因?yàn)锽是正定陣，對(duì)B做合同變換還是正定陣。如果A、B都只能保證半正定，且A-B>=0，以上結(jié)論還成立嗎，是否有|A|>=|B|？上面的證明過(guò)程對(duì)A正定，B半正定都可以用。 當(dāng)A半正定時(shí)，得考慮用極限了： 對(duì)任意的e>0，A+eE正定，A+eE--B>0，因此有 det(A+eE)>det(B)。 令e趨于0，得det(A)>=det(B)。 不用這么麻煩： 此時(shí)A，B的行列式都是0，當(dāng)然成立。