你給出的答案前面少了一個(gè)負(fù)號(hào).
設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為x=φ(y)
則在反函數(shù)可導(dǎo)的條件下,我們有
φ'(y)=1/f'(x) (*)
假定(*)是可導(dǎo)的,把等號(hào)右邊視作分式,等式兩端再對(duì)y求導(dǎo)
φ"(y)={-1/[f'(x)]²}·[f'(x)]'(y)
(最后的括弧y表示對(duì)y求導(dǎo))
式中第二個(gè)因子中f'(x)是x的函數(shù),卻要對(duì)y求導(dǎo),應(yīng)該把x看做中間變量,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則先對(duì)x求導(dǎo),再乘上x對(duì)y的導(dǎo)數(shù)φ'(y).所以
φ"(y)=-1/[f'(x)]²·[f'(x)]'(x)·φ'(y)
=-f"(x)/[f'(x)]²·φ'(y)
把(*)式代入上式即得到：
φ"(y)=-f"(x)/[f'(x)]³