在四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=BD,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),EF分別交BD,AC與點(diǎn)M,N,求證OM=ON
證明：設(shè)Q、R分別是AB、CD中點(diǎn),連接EQ、QF、FR、RE,
FR與AC交點(diǎn)為S,RE與BD交點(diǎn)為T
因?yàn)镋、Q、F、R分別是AD、AB、BC、CD中點(diǎn),
所以QE‖BD且等于1/2BD,FR‖BD且等于1/2BD,
QF‖AC且等于1/2AC,ER‖AC且等于1/2AC
又因?yàn)锳C=BD,所以EQ=QF=FR=RE 且QE‖RF,QF‖ER
所以EQFR是平行四邊行且是菱形
得出：EF為∠QER和∠QFR平分線,∠QEF=∠FER,∠QFE=∠RFE,
因?yàn)镼F‖ER,所以∠EFQ=∠FER,得∠EFR=∠FER
因?yàn)锳C‖ER,所以∠BOA=∠BTE,
因?yàn)锽D‖RF,所以∠FSA=∠BOA,得∠FSA=∠BTE,
在三角形EMT與三角形FNS中,
∠MET=∠FER=∠EFR=∠NFS,
∠ETM=∠ETB=∠ASF=∠NSF,
由三角形內(nèi)角和,得出∠EMT=∠FNS,
因?yàn)椤螮MT與∠OMN是對頂角,∠FNS與∠ONM是對頂角,
所以在三角形NOM中∠OMN=∠ONM,
三角形NOM為等腰三角形,得出OM=ON