定義隨機變量Xi如下:當?shù)趇個盒子中有球時
Xi=1,
當?shù)趇個盒子中無球時:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
則Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的個數(shù).
由于每個球放進該盒子的概率為:1/N.而不放入該盒子的概率為:(1-1/N).
每個是否放入該盒子相互獨立,故N個球均不放入該盒子的概率為:(1-1/N)^N,(1)
而至少有一個球放入該盒子的概率
為:1-(1-1/N)^N.(2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由數(shù)學期望的性質(zhì):
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即為所求.