證明：(1) 首先證明cl(M)是緊集．為此只要證明cl(M)列緊即可． 設{ xn }是cl(M)中的點列,則存在M中的點列{ yn }使得ρ ( xn,yn ) < 1/n． 因M列緊,故{ yn }有收斂子列{ yn(k)},設yn(k) → u ∈cl(M)． 顯然{ xn(k)}也是收斂的,并且也收斂于u ∈cl(M)． 所以cl(M)是自列緊的,因而是緊集． (2) 令g(x) = ρ ( x,f (x)),則g是X上的連續(xù)函數(shù)． 事實上,由ρ ( f (x1),f (x2)) < ρ ( x1,x2 )可知f :X → M是連續(xù)的,因而g也連續(xù)． 由習題1.3.2知存在x0∈cl(M),使得g(x0) = inf {ρ ( x,f (x)) | x ∈cl(M) }． (3) 若g(x0) > 0,則ρ ( x0,f (x0)) > 0,即x0 ≠ f (x0)． 故ρ ( x0,f (x0)) = g(x0) ≤ g( f (x0)) = ρ ( f (x0),f ( f (x0))) < ρ ( x0,f (x0) ),矛盾． 所以,必有g(x0) = 0,即ρ ( x0,f (x0)) = 0,因此x0就是f的不動點．