約翰．伯努利於1694年首次提出函數(shù)（function）概念,并以字母 n 表示變量 z 的一個函數(shù)；至 1697年,他又以大寫字母 X 及相應之希臘字母 ξ表示變量 x 的函數(shù).同期（1695年）,雅．伯努 利則以 p 及 q 表示變量 x 的任何兩個函數(shù). 1698年,萊布尼茨以及表示 x 的 兩個函數(shù)；以及表示兩個變量 x,y 的 函數(shù). 1734年,歐拉以 f() 表示 的函數(shù),是數(shù)學史上首次以“f”表示函數(shù).同時,克萊 羅采用大寫希臘字母∏x,Φx及Δx（不用括號）表示 x 的函數(shù).1745年,達朗貝爾以Δu,s及Γu,s表 示兩個變量 u,s 的函數(shù),并以Φ(z)表示 z 的函數(shù).1753年,歐拉又以Φ:(x,t)表示 x 與 t 的函數(shù) ,到翌年,更以f:(a,n)表示 a 與 n 的函數(shù). 1797年,拉格朗日大力推動以f、F、Φ 及y 表示函數(shù),對后世影響深遠.時至今日, 函數(shù)主要都以這幾個字母表達. 1820年,赫謝爾以f(x)表示 x 的函數(shù),并指 出f(f(x))=f2(x)及fmfn(x)=fm+n(x),還以f-1(x)表示其函數(shù) f 為 x 的量.1893年,皮亞諾開始采用符 號y=f(x)及x=f(y),其后又與赫謝爾符號結(jié)合,成為現(xiàn)今通用的符號：y=f(x)及x=f-1(y). 函數(shù)符號y=f(x)是由德國數(shù)學家萊布尼茲在18世紀引入的. 常用函數(shù) 反比例函數(shù)y=k/x(x0) 正比例函數(shù)y=kx 一次函數(shù) y=kx+b 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)等等
1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)
十七世紀伽俐略(G．Galileo,意,1564－1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關系的這一概念,用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系.1673年前后笛卡爾(Descartes,法,1596－1650)在他的解析幾何中,已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系,但因當時尚未意識到要提煉函數(shù)概念,因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義,大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的. 1673年,萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”,后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量.與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 “流量”來表示變量間的關系.
2.十八世紀函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)
1718年約翰?貝努利(Johann Bernoulli ,瑞,1667－1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量.”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數(shù),并強調(diào)函數(shù)要用公式來表示. 1755,歐拉(L．Euler,瑞士,1707－1783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量,以某一種方式依賴于另一些變量,即當后面這些變量變化時,前面這些變量也隨著變化,我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).” 18世紀中葉歐拉(L．Euler,瑞,1707－1783)給出了定義：“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式.”他把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù),并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù),還考慮了“隨意函數(shù)”.不難看出,歐拉給出的函數(shù)定義比約翰?貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.
3.十九世紀函數(shù)概念——對應關系下的函數(shù)
1821年,柯西(Cauchy,法,1789－1857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系,當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值,其他變數(shù)的值可隨著而確定時,則將最初的變數(shù)叫自變量,其他各變數(shù)叫做函數(shù).”在柯西的定義中,首先出現(xiàn)了自變量一詞,同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式.不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限. 1822年傅里葉（Fourier,法國,1768——1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示,也可以用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次. 1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805－1859) 突破了這一局限,認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,他拓廣了函數(shù)概念,指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那么y叫做x的函數(shù).”這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關系的描述,以清晰的方式被所有數(shù)學家接受.這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義. 等到康托(Cantor,德,1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后,維布倫(Veblen,美,1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義,通過集合概念把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了,且打破了“變量是數(shù)”的極限,變量可以是數(shù),也可以是其它對象.
4.現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù),其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念.庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了. 1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.”