已知x,y,z是實(shí)數(shù),且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值.

數(shù)學(xué)人氣：995 ℃時間：2020-04-17 05:28:50

優(yōu)質(zhì)解答

方程x+2y-3z=1表示三維空間直角坐標(biāo)系中的平面,將其寫成截距式x/1+y/(1/2)+z/(-1/3)=1得其在x,y,z軸上的截距分別為1,1/2,-1/3.
設(shè)此平面與x,y,z軸分別相交于A,B,C點(diǎn).x^2+y^2+z^2表示平面x+2y-3z=1上點(diǎn)（x,y,z)于原點(diǎn)O(0,0,0)的距離的平方,其最小值為原點(diǎn)O到平面x+2y-3z=1距離（垂線段OP長)的平方
利用體積轉(zhuǎn)換得,V-OABC=V-AOBC,即op*S三角形ABC=OA*OB*OC,op=1/根號14,op平方=1/14
x2+y2+z2的最小值為1/14