f（x）在（0,1)上可導(dǎo),在[0,1]連續(xù).且f(1)=0,試證明存在ξ屬于[0,1]使得f(ξ)'= -2f(ξ)/ξ成立

數(shù)學(xué)人氣：842 ℃時間：2020-01-29 23:20:10

優(yōu)質(zhì)解答

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)證明
將要證明的表達式的ξ換成x,整理有
f'(x)/f(x)=-2/x
兩邊積分得
lnf(x)=-2lnx+lnC
知C=x²f(x)=g(x) （記）
由初等函數(shù)性質(zhì)知g(x) 在[0,1]連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且有g(shù)(0)=g(1)=0
知g(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件
則存在ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=0
即ξ[2f(ξ)+f'(ξ)ξ]=0
又ξ≠0那么2f(ξ)+f'(ξ)ξ=0
整理便得證.