一、極限的計算：

就是算出當x無限地趨向于某個值x.時,函數(shù) f(x) 越來越無止境地趨向于何值?

在一般情況下,就是直接代入.

有些情況是無法直接代入的,這就是不定式的七種類型,譬如分子分母都趨向于0,

我們就不能分子分母都代入0.而是要找出它們的比例究竟越來越趨向于什么數(shù),

這樣的結(jié)果,我們就產(chǎn)生了各種各樣的計算極限的方法.

二、極限理論的證明.

這部分不好理解,請樓主細細看看下面的解釋,會忽然開通.

1、極限的最早萌芽概念,我們祖先也有過,但是被當成詭辯學而埋葬了.

      時至今日,仍有絕大多數(shù)數(shù)學教師,一提到詭辯學,立馬教條式地徹

      底否認,沒有思辨的任何理性空間.

2、鬼子的祖先,也有詭辯學,他們認認真真地研究了paradox,由此而

     建立了極限理論.極限理論是橋梁,橋的這邊是初等數(shù)學,橋的那邊

     是微積分,是高等數(shù)學.我們的理論貢獻局限在橋這邊,橋那邊的理

     論世界的建設,我們幾乎完全是手無寸功,我們在科研上的落后就是

     從這里開始的.

3、極限的理論究竟是什么呢?

第一,極限的證明理論

這就是我們的大學新生大學伊始時,興致勃勃地心情遇到的第一記沉重

的悶棍.極限的理論,其實是吵架的理論,是無止境爭辯的過程,也是

無窮列舉法的理論化過程.例如：

(1)、我說當 x 無限趨向于 2 時,x² 就無限趨近于 4.

(2)、你不信,你要我證明給你看.

(3)、我說,那你隨便給一個很小的數(shù),你給了0.5.

(4)、我通過計算,我說只要 x = 2.10 就行.

(5)、你反悔了,改成了0.4.

(6)、我重新計算了一下,我說只要 x = 2.09 就行.

(7)、你又反悔,又改成了0.3.

(8)、我又重新計算,我說只要 x = 2.07 就行.

(9)、你再次反悔,再改成0.2.

(10)、我再次計算,我說只要 x = 2.04 就行.

、、、、你不斷地反悔,不斷地提出越來越苛刻的數(shù)據(jù),我也不斷地計算, 

不斷給出越來越接近于2的具體數(shù),也就是越來越限制了 x 趨近于 2 的程

度、、、、、

結(jié)果我們都厭煩了.

(11)、我說,別鬧了,你給出一個可以表示很小很小的象征性的數(shù)字吧.

(12)、你給出了一個代號 ε.

(13)、我根據(jù)你的代號 ε,經(jīng)過一番計算,找到了另外一個數(shù)字代號 δ.
          我對你說,你自己隨便找一個跟 2 的差距不大于 δ 的數(shù)就可以了.
          算了,算了,我把計算公式也給你吧,你自己出 ε,自己去找 δ,

          這樣你還有什么話說?

爭吵就這樣結(jié)束了,無窮列出變成了一個理論計算過程,結(jié)果就得到了證明.

這個證明邏輯思路是：

只要你給得出一個無論多小的數(shù),ε；

我就能根據(jù)你的 ε,算出一個 δ ；

只要將x 的取值,限制在 δ 的范圍內(nèi),函數(shù)值與極限值之差就小于 ε.

由于 ε可以任意的小,兩者之差可以無止境的小下去,就證明了極限.

δ 是根據(jù) ε 算出的,我算出一個δ,你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范圍,

所以,ε是任給的,δ 是根據(jù) ε 推算的,但 δ 不是唯一的,可以有無數(shù)個

更嚴格的、更小的值.所以說,總存在一個 δ,但是這個 δ,必須由我們

去根據(jù) ε找出來.

第二、極限的計算

微積分的前面部分,就是尋找各種計算方法,最典型的是羅畢達法則.

第三、極限的運用

可以說極限是微積分的基礎,也可以說,微積分是極限理論的運用.

如果你不能明白極限的理論證明方法,

那么,我們得恭喜你!你真正理解了我們傳統(tǒng)的優(yōu)秀數(shù)學史,到了近代數(shù)學時,

怎么突然落后了、落伍了.當代理論,我們沒有參與建立,迄今為止,我們還

處于三流開外.

如果你明白了極限的理論證明方法,

那么,我們得祝賀你!你真正開始領略到了現(xiàn)代數(shù)學、現(xiàn)代科學的真諦.體會

到了我們傳統(tǒng)的、定性、模棱兩可、之乎者也的學風,更現(xiàn)代數(shù)學、現(xiàn)代科學、

現(xiàn)代醫(yī)學、、、、、之間的鴻溝是多么得深,多么得廣,多么得不可同日而語.

三、極限的證明示例：

四、極限的計算方法總結(jié)

下面是本人平時的用法所做的總結(jié),并配有例題.考研不會超出這個范圍.

若看不清楚,請點擊放大.