如圖，已知△ABC，以邊BC為直徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，AF為△ABC角平分線，且AF⊥EC． （1）求證：AC與⊙O相切； （2）若AC=6，BC=8，求EC的長(zhǎng)．
如圖，已知△ABC，以邊BC為直徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，AF為△ABC角平分
線，且AF⊥EC．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的長(zhǎng)．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：如圖，連接BE，
∵AF是∠BAC的角平分線，AF⊥EC，
∴∠ACH=∠AHC．
∵∠BHE=∠AHC，
∴∠ACH=∠BHE．
∵E是
 |
| BD |
的中點(diǎn)，
∴∠EBD=∠BCE．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°．（ 3分）
∴∠EBH+∠BHE=90°．
∴∠BCE+∠ACE=90°．
∴AC是⊙O的切線．（4分）
（2）在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC，
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4．（6分）
∵∠EBH=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB．
∴
=
=
．
在Rt△EBC中，
∵EC=2EB，BC=8，
∵EC
2+EB
2=BC
2∴EC=
．
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