畢達(dá)哥拉斯的發(fā)明：最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.他們很重視數(shù)學(xué),企圖用數(shù)來解釋一切.宣稱數(shù)是宇宙萬物的本原,研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘.他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數(shù).這在今天看來很平常的事,但在當(dāng)時的哲學(xué)和實用數(shù)學(xué)界,這算是一個巨大的進(jìn)步.在實用數(shù)學(xué)方面,它使得算術(shù)成為可能.在哲學(xué)方面,這個發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構(gòu)成實物世界的基礎(chǔ).
畢達(dá)哥拉斯定理——勾股定理
畢達(dá)哥拉斯定理——勾股定理
勾股定理
畢達(dá)哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方稱畢達(dá)哥拉斯定理)著稱于世.這定理早已為巴比倫人所知(在中國古代大約是公元前2到1世紀(jì)成書的數(shù)學(xué)著作 《周髀 算經(jīng)》中假托商高同周公的一段對話.商高說：“…故折矩,勾廣三,股修四,經(jīng)隅五.”商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時,徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”.這就是中國著名的勾股定理.),不過最早的證明大概可歸功于畢達(dá)哥拉斯.他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和,即畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理).
數(shù)論
畢達(dá)哥拉斯對數(shù)論作了許多研究,將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等.在畢達(dá)哥拉斯派看來,數(shù)為宇宙提供了一個概念模型,數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式,數(shù)不但有量的多寡,而且也具有幾何形狀.在這個意義上,他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象,是一切事物的總根源.因為有了數(shù),才有幾何學(xué)上的點,有了點才有線面和立體,有了立體才有火、氣、水、土這四種元素,從而構(gòu)成萬物,所以數(shù)在物之先.自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的,都必須服從“數(shù)的和諧”,即服從數(shù)的關(guān)系.
畢達(dá)哥拉斯還通過說明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系,來進(jìn)一步證明自己的理論.他曾證明用三條弦發(fā)出某一個樂音,以及它的第五度音和第八度音時,這三條弦的長度之比為6:4:3.他從球形是最完美幾何體的觀點出發(fā),認(rèn)為大地是球形的,提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想.他還認(rèn)為十是最完美的數(shù),所以天上運動的發(fā)光體必然有十個.
一個理論
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的“中央火”轉(zhuǎn)動,另一側(cè)有一個“對地星”與之平衡.這個“中央火”是宇宙的祭壇,是人永遠(yuǎn)也看不見的.這十個天體到中央火之間的距離,同音節(jié)之間的音程具有同樣的比例關(guān)系,以保證星球的和諧,從而奏出天體的音樂.
整數(shù)的變化
畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派在數(shù)學(xué)上有很多創(chuàng)造,尤其對整數(shù)的變化規(guī)律感興趣.例如,把(除其本身以外)全部因數(shù)之和等于本身的數(shù)稱為完全數(shù)(如6,28,496等),而將本身大于其因數(shù)之和的數(shù)稱為盈數(shù)；將小于其因數(shù)之和的數(shù)稱為虧數(shù).
幾何的其他貢獻(xiàn)
在幾何學(xué)方面,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派證明了“三角形內(nèi)角之和等于兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.
萬物皆數(shù)
他同時任意地把非物質(zhì)的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原,認(rèn)為“萬物皆數(shù)”,“數(shù)是萬物的本質(zhì)”,是“存在由之構(gòu)成的原則”,而整個宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧的體系.畢達(dá)哥拉斯將數(shù)神秘化,說數(shù)是眾神之母,是普遍的始原,是自然界中對立性和否定性的原則.