設(shè)空氣對物體的阻力為f(t)=kv(t).
物體受到合外力F(t)=mg-f(t)=mg-kv(t),方向豎直向下.
物體運(yùn)動加速度a(t)=F(t)/m=g-kv(t)/m,方向豎直向下.
v(t)=∫a(t)dt=∫[g-kv(t)/m]dt
方程兩邊對t求導(dǎo),v'=g-kv/m ...(*)
用常數(shù)變異法求解此常微分方程：
v'=-kv/m,解得v=C*exp(-kt/m)
設(shè)v(t)=C(t)*exp(-kt/m),則v'(t)=C'(t)*exp(-kt/m)-(k/m)C(t)*exp(-kt/m)
將v(t)與v'(t)代入(*)式,得C'(t)=g*exp(kt/m)
積分解得C(t)=C-(mg/k)*exp(-kt/m)
所以v(t)=[C-(mg/k)*exp(-kt/m)]*exp(-kt/m)
又v(0)=0,得C=mg/k
故v(t)=(mg/k)[exp(kt/m)-1]/exp(2kt/m).