理論上看,意義是明顯的.相似是一種等價(jià)關(guān)系,對(duì)角化相當(dāng)于對(duì)一類(lèi)矩陣在相似意義下給出了一種簡(jiǎn)單的等價(jià)形式,這對(duì)理論分析是方便的.相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì),比如特征多項(xiàng)式,特征根,行列式……如果只關(guān)心這類(lèi)性質(zhì),那么相似的矩陣可以看作沒(méi)有區(qū)別的,這時(shí)研究一個(gè)一般的可對(duì)角化的矩陣,只要研究它的標(biāo)準(zhǔn)形式——一個(gè)對(duì)角矩陣就可以了.而對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)矩陣,研究起來(lái)非常方便.這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于在一個(gè)等價(jià)類(lèi)中選取最順眼的元素研究.
另外,對(duì)角化突出了矩陣的特征值,而過(guò)度矩陣T反映了特征向量的信息,對(duì)角化過(guò)程的直觀意義還是很明顯的.再結(jié)合正交矩陣的概念,可以得到一些不平凡的結(jié)論,例如實(shí)對(duì)稱矩陣總可以對(duì)角化.
實(shí)踐中的矩陣對(duì)角化作用也很大.別的不說(shuō),比如要算一個(gè)一般的3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的n次冪,n較大時(shí),按矩陣乘法定義去計(jì)算是相當(dāng)繁瑣的,計(jì)算復(fù)雜度呈指數(shù)型增長(zhǎng).但是如果把A可以對(duì)角化(實(shí)對(duì)稱矩陣總是可以對(duì)角化的),寫(xiě)為=T^(-1)PT,P是對(duì)角陣.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的計(jì)算是很簡(jiǎn)單的,只要把各特征值^n即可,此時(shí)計(jì)算A^n的復(fù)雜度幾乎與n無(wú)關(guān).
以上純屬個(gè)人見(jiàn)解,僅供LZ參考:)