一般的函數(shù)在某點極限存在,該點確實不一定有定義,但是導函數(shù)有一些不同于一般函數(shù)的性質(zhì)（這就是說不是隨便給一個函數(shù),它就能成為某個初等函數(shù)的導函數(shù)的）.你所說其實是導函數(shù)的一個重要性質(zhì),稱為導數(shù)極限定理,證明過程一般教材上有.該定理的特殊之處在于,甚至不事先要求函數(shù)在x=a處可導,而只通過導函數(shù)在該點處的極限得出該點處的導數(shù).用連續(xù)性的觀點來看,這定理的本質(zhì)是,導函數(shù)如果在某點處極限存在,則在該點連續(xù),而這正是一般函數(shù)不具有的.從這個定理出發(fā),可以推出其它一些導函數(shù)的性質(zhì),例如導函數(shù)的介值性,沒有第一類間斷點等.