∵x≥e,∴x-1＞0,
對(duì)所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立,
即要使a≤xf(x)/(x-1)對(duì)所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.
設(shè)y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
對(duì)y求導(dǎo),得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²
設(shè)g(x)=x-lnx-1
對(duì)g(x)求導(dǎo),得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e＞0,即g(x)是增函數(shù)
∴g(x)≥e-lne-1=e-2＞0
∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²＞0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函數(shù)
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)
即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)