1+a1 1 1 …… 1 1
1 1+a2 1 …… 1 1
1 1 1+a3 …… 1 1
…… …… …… …… …… …… ……
1 1 1 ……1+a 1
1 1 1 …… 1 1+an
依次用第n行減去第n-1行,第n-1行減去第n-2行,……,第2行減去第1行,得
1+a1 1 1 …… 1 1
-a1 a2 0 …… 0 0
0 -a2 a3 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… ……
0 0 0 …… a 0
0 0 0 …… -a an
按第一行展開,得
原式 = (1+a1)*a2*a3*a4*……*a*an
＋ (-1)*(-a1)*a3*a4*……*a*an
＋ [(-1)^2]*(-a1)*(-a2)*a4*……*a*an
＋…………＋
＋ [(-1)^(n-2)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*an
＋ [(-1)^(n-1)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*(-a)
= a1*a2*a3*a4*……*a*an
＋a2*a3*a4*……*a*an
＋ a1*a3*a4*……*a*an
＋ a1*a2*a4*……*a*an
＋…………＋
＋ a1*a2*a3*……*a*an
＋ a1*a2*a3*……*a*a
(1) 若數(shù)列a1、a2、a3、……、an中至少有兩個(gè)數(shù)等于零,則
行列式中就會出現(xiàn)至少兩個(gè)以上均為1的相同行,
∴原行列式＝0
(2) 若數(shù)列a1、a2、a3、……、an中有且僅有一個(gè)數(shù)等于零,假設(shè)a i =0（其中i∈[1,n]）則
原行列式 ＝ a1*a2*a3*……* ai-1 * ai+1*……*an （數(shù)列中不算ai的其余n-1個(gè)數(shù)的乘積）
(3) 若數(shù)列a1、a2、a3、……、an均不為零,則
原行列式 ＝ a1*a2*a3*a4*……*a*an * [ 1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an ]