高數(shù)向量證明(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

數(shù)學(xué)人氣：695 ℃時間：2020-04-15 22:13:32

優(yōu)質(zhì)解答

以下a,b,c均表示向量.
取一個右手直角坐標(biāo)系,設(shè)
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3).
由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以(axb)xc的第一個坐標(biāo)為
(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.
另一方面,(a·c)·b-(b·c)·a的第一個坐標(biāo)為
(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2
因此等式兩邊的向量的第一個坐標(biāo)相等,同理可證其他兩個坐標(biāo)也相等,從而等式成立