解一:
特征多項(xiàng)式f(t)=|t*E-A|=0
此即得關(guān)于t的一元三次方程.
求解三個(gè)t值即是.可能有重根.
或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一樣的.
解二:
|A+t*E|=0
解此關(guān)于t的一元三次方程.
求解三個(gè)t值.可能有重根.
再取相反數(shù)即是所求.
這樣在計(jì)算是方便一點(diǎn)點(diǎn).
解三參考:
以下tr表示矩陣的跡(即主對(duì)角線元素之和); A*表示伴隨陣; det表示行例式的值.
特征多項(xiàng)式f(t)=|t*E-A| 習(xí)慣上一般用λ.為了打字方便有時(shí)我用t.
如果A是1階矩陣,易見(jiàn)特征值就是A本身.
如果A是2階矩陣,特征多項(xiàng)式可以寫(xiě)為λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是3階矩陣,特征多項(xiàng)式可以寫(xiě)為λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中tr(A*)=各階主子行列式之和.
如果A是4階矩陣,特征多項(xiàng)式可以寫(xiě)為λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.
于是
A=
2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2
故
A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1
很顯然A=(t+1)^3,有三重根-1.
即矩陣有三重特征值 -1