dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解.
此方程在現(xiàn)在這個狀態(tài),無法分離變量；分離不了變量,就無法求解.
最常用的方法,是先求一階齊次方程dy/dx+P(x)y=0的通解,然后把積分常數(shù)換成x的函數(shù)u(x),
再將帶u的通解y和y'代入原式,即可求出函數(shù)u(x)；最后即可求得原方程的通解.這個過程已經(jīng)程式化,很容易掌握.不存在“為什么”的問題,只是一個方法.
由dy/dx+P(x)y=0,得dy/y=-P(x)dx,積分之得lny=-∫P(x)dx+lnC₁,故y=C₁e^[-∫P(x)dx]；
將C₁換成x的某個函數(shù)u,得y=ue^[-∫P(x)dx].(1)
對x取導數(shù)得dy/dx=(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x).(2)
將(1)和(2)代入原方程,得：
(du/dx)e^[-∫P(x)dx]-ue^[-∫P(x)dx]P(x)+ue^[-∫P(x)dx]P(x)=Q(x)
化簡得(du/dx)e^[-∫P(x)dx]=Q(x)
這就可以分離變量了：
du={Q(x)e^[∫P(x)dx]}dx
積分就看求出u(x),再代入(1)式即得原方程的通解.