當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

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3

．
證明如下：
（1）當扇形的圓心角與正三角形的中心角重合時：
顯然，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC的面積的

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3

；
（2）當扇形的圓心角與正三角形的中心角不重合時：
如圖，連接OA、OB，設OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，
∠AOB=

1

3

×360°=120°（等邊三角形的中心角等于

360°

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），
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中

∠OAF＝∠OBG OA＝OB ∠AOF＝∠BOG

，
∴△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四邊形OFBG}=S_△AOB=

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3

S_△ABC，
即△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

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3

，
同理可證，當扇形ODE旋轉(zhuǎn)至其他位置時，結(jié)論仍成立．
由（1）、（2）可知，當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

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