首先證明這個(gè)結(jié)論：O是ABC內(nèi)心的充要條件是：aOA+bOB+cOC=0 （均表示向量）
證明:OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到：
AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)
而|AC|=b,|AB|=c
所以AO=bc/(a+b+c) * (AB/|AB|+AC/|AC|)
而由平行四邊形法則值(AB/|AB|+AC/|AC|)與BAC交角平分線共線
所以AO經(jīng)過內(nèi)心
同理BO,CO也經(jīng)過內(nèi)心,所以O(shè)為內(nèi)心
反之亦然,就不證了
知道這個(gè)結(jié)論后
設(shè)ABC的坐標(biāo)為：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c
內(nèi)心為O(x,y)則有aOA+bOB+cOC=0（三個(gè)向量）
MA=(x1-x,y1-y)
MB=(x2-x,y2-y)
MC=(x3-x,y3-y)
則：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0
∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)
∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))