根據(jù)分析可得，
（1）11和13的最小公倍數(shù)是：11×13=143，143÷15=9…8，286÷15=19…1，把286擴(kuò)大13倍，除數(shù)不變，根據(jù)余數(shù)定理可得：286×13=3718，3718÷15=247…13，符合要求；
同理，（2）11和15的最小公倍數(shù)是：11×15=165；（165×2）÷13=25…5；（165×3）÷13=495÷13=38…1；495×12=5940，5940÷13=456…12，符合要求；
（3）因?yàn)檫@個(gè)自然數(shù)能被11整除，所以，只要滿足條件（1）和（2），這個(gè)自然數(shù)就會(huì)滿足題干的所有的已知條件，但是題干是求的滿足條件的最小的自然數(shù)，所以根據(jù)剩余定理可知，必須減去11、15和13的公倍數(shù)，直到小于11、15和13的最小公倍數(shù)為止；
所以，11、15和13的最小公倍數(shù)是：15×13×11=2145，所以，5940+3718-2145×4=1078，1078＜2145，因此，這個(gè)數(shù)最小為1078．
故答案為：1078．