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  • 如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于12MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中

    如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于
    1
    2
    MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( ?。?br>①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4
    數(shù)學(xué)人氣:790 ℃時(shí)間:2020-07-02 03:21:05
    優(yōu)質(zhì)解答
    ①根據(jù)作圖的過程可知,AD是∠BAC的平分線.
    故①正確;
    ②如圖,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
    ∴∠CAB=60°.
    又∵AD是∠BAC的平分線,
    ∴∠1=∠2=
    1
    2
    ∠CAB=30°,
    ∴∠3=90°-∠2=60°,即∠ADC=60°.
    故②正確;
    ③∵∠1=∠B=30°,
    ∴AD=BD,
    ∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.
    故③正確;
    ④∵如圖,在直角△ACD中,∠2=30°,
    ∴CD=
    1
    2
    AD,
    ∴BC=CD+BD=
    1
    2
    AD+AD=
    3
    2
    AD,S△DAC=
    1
    2
    AC?CD=
    1
    4
    AC?AD.
    ∴S△ABC=
    1
    2
    AC?BC=
    1
    2
    AC?
    3
    2
    AD=
    3
    4
    AC?AD,
    ∴S△DAC:S△ABC=
    1
    4
    AC?AD:
    3
    4
    AC?AD=1:3.
    故④正確.
    綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④,共有4個(gè).
    故選D.
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