y = 2x - x² = 1 - (x - 1)²
此為開口向下,頂點為(1,1)的拋物線; 所需考慮的是其與軸間的部分.
圖形繞y軸旋轉(zhuǎn),以y為自變量更方便.
在y處(0 < y < 1),x值有兩個:
y = 1 - (x - 1)²
x = 1±√(1 - y)
旋轉(zhuǎn)體在y處的截面為圓環(huán),內(nèi)外徑分別為r =1-√(1 - y),R = 1+√(1 - y)
截面積 = πR² - πr² = π[1 +√(1 - y)]² - π[1 - √(1 - y)]²
= 4π√(1 - y)
V = ∫¹₀4π√(1 - y)dy
= (-8π/3)(1-y)³/² |¹₀
= 0 + 8π/3
= 8π/3