證明：1.
過O作OE⊥AB于E點,過O作OF⊥CD于F點
在直角三角形OPE與直角 三角形OPF中
∵AB,CD與OP成等角
∴∠OPE=∠OPF
又OP是公共邊
∴直角三角形OPE≌直角 三角形OPF(角,角,邊)
從而 OE=OF ① PE=PF ②
在直角三角形AOE與直角三角形COF中
由①得OE=OF
又OA,OC是圓的半徑
從而OA=OC
∴直角三角形AOE≌直角三角形COF (斜邊,直角邊)
從而AE=CF ③
由②+③得 PE+AE=PF+CF
即 AP=CP ④
由圓的相交弦定理,得 AP*PB=CP*PD ⑤
由④⑤得 PB=PD ⑥
④+⑥得 AP+PB=CP+PD
即AB=CD
2．
連接AC,BC,BD,AD
在三角形BAC與三角形CAD中
∵AB=CD
∴弧AB=弧CD
從而∠ACB=∠CAD（等弧對等圓周角）
又弧BC=弧CD-弧BD,弧AD=弧AB-弧BD
∴弧BC=弧AD
從而∠ACD=∠BAC（相等弧所對的圓周角相等）
又AC是公共邊
∴三角形BAC≌三角形CAD（角,邊,角）
從而AC=BD
在三角形PAC與三角形PBD中
∠CAP=∠CDB,∠ACP=∠DBP
又已證AC=BD
∴三角形PAC≌三角形PBD（角,邊,角）
從而PA=PD