1.函數(shù)的零點
(1)一般地,如果函數(shù)在實數(shù)a處的值為0,即,則a叫做這個函數(shù)的零點．
(2)對于任意函數(shù),只要它的圖象是連續(xù)不間斷的,其函數(shù)的零點具下列性質(zhì)：
①當它通過零點（不是偶次零點）時函數(shù)值符號改變；
②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持符號不變.
（3）函數(shù)零點的性質(zhì)是研究方程根的分布問題的基礎(chǔ),是通過對二次函數(shù)的零點的研究而推出的,是由特殊到一般的思想方法.
2.二分法
(1) 已知函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的,且,通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,從而得到零點的近似值的方法,叫做二分法.
(2)二分法定義的基礎(chǔ),是函數(shù)零點的性質(zhì)；二分法定義本身給出了求函數(shù)零點近似值的步驟．只要按步就班地做下去,就能求出給定精確度的函數(shù)零點．
（3）二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟,滲透了算法思想與程序化意識．此步驟本身就是一個解題程序.這種程序化思想在計算機上得到了廣泛的應用．
3.常用的幾類函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型：；
(2)反比例函數(shù)模型：；
(3)二次函數(shù)模型：；
(4)指數(shù)函數(shù)模型：；
(5)對數(shù)函數(shù)模型：；
(6)冪函數(shù)模型：.
（二）圖象變換
1.作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種,即列表描點法和圖象變換法.掌握這兩種方法是本節(jié)的重點．運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性,也應避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處,要把線連在恰當處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段,是一個難點．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換,以及確定怎樣的變換．這也是個難點．
作函數(shù)圖象的步驟：
①確定函數(shù)的定義域；
②化簡函數(shù)的解析式；
③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；
④描點連線,畫出函數(shù)的圖象.
2．所謂圖象的幾何變換法,就是把常見函數(shù)圖象與圖象幾何變換的知識結(jié)合起來而獲得函數(shù)圖象的一種重要的途徑.
函數(shù)圖象的變換包括四種：平移變換、伸縮變換、對稱變換以及絕對值變換.
1.平移變換
由y=f(x)→y=f(x+a)+b,分為橫向平移與縱向平移.
（1）橫向平移：由y=f(x)→y=f(x+a)
把y=f(x)的圖象上各點沿x軸平移|a|個單位；當a＞0時,向左平移；當a＜0時向右平移.
（2）縱向平移：由y=f(x)→y=f(x)+b
把y=f(x)的圖象上各點沿y軸平移|b|個單位；當b＞0時,向上移動；當b＜0時,向下移動.
2.伸縮變換
由y=f(x)→y=Af(wx) (A＞0,w＞0) 分為橫向與縱向伸縮,其變換過程可表示為：
y=f(x)
y=Af(wx)
3.對稱變換
包括關(guān)于x軸,y軸,原點,y=x直線對稱.
（1）關(guān)于x軸對稱：y=f(x)與y=-f(x),其解析式的特征是：用-y代y,解析式能由一個變成另一個.
（2）關(guān)于y軸對稱：y=f(x)與y=f(-x),其解析式的特征是：用-x代x,解析式能一個變成另一個.
（3）關(guān)于原點對稱：y=f(x)與y=-f(-x),其解析式的特征是：用-x,-y分別代x,y,解析式能由一個變成另一個.
（4）關(guān)于直線y=x直線對稱：y=f(x)與y=f-1(x),其解析式的特征是：用x代y,用y代x,解析式能由一個變成另一個.
4.絕對值變換有兩種：y=|f(x)|與y=f(|x|)
（1）由y=f(x)→y=|f(x)|
由絕對值的意義有：
因此,幾何變換的程序可以設(shè)計如下：
①留住x軸上方的圖象
②翻折：將x軸下方的圖象沿x軸對稱上去
③去掉x軸下方的圖象
（2）由y=f(x)→y=f(|x|)
由絕對值的意義有：
因此,可將這種幾何變換設(shè)計為：
① 留住y軸右側(cè)的圖象
② 去掉y軸左側(cè)的圖象
③ 翻折：將y軸右側(cè)的圖象沿y軸對稱到y(tǒng)軸左側(cè).
2.冪函數(shù)隨著的取值不同,它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同,但它們有一些共同的性質(zhì)：
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1)；
(2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地,當時,冪函數(shù)的
圖象下凸；當時,冪函數(shù)的圖象上凸；
(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi),當從右邊趨向原點時,圖象
在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
3.作冪函數(shù)圖象的步驟如下:
(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；
(2)若冪函數(shù)的定義域為(0,+∞)或[0,+∞),作圖已完成；
若在(-∞,0)或(-∞,0]上也有意義,則應先判斷函數(shù)的奇偶性
如果為偶函數(shù),則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；
如果為奇函數(shù),則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象.
1. 平移變換：


2. 對稱變換：
①整體對稱：



②局部對稱：


3. 伸縮變換：


4. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.
下面我們研究兩種變換是如何進行的：
（1）
（2）
(1)先伸縮再平移：y=sinx圖像上每點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫統(tǒng)=sin2x的圖像,再把y=sin2x的圖像向左平移個單位得到
(2)先平移再伸縮：把y=sinx的圖像向左平移個單位得到的圖像,再把圖像上每一點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫降膱D像.
（1）
（2）
(1)先對稱再平移：y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱后得到y(tǒng)=f(-x)的圖像,再把f(-x)的圖像向右平移1個單位得到y(tǒng)=f(-x+1)的圖像；
(2)先平移再對稱：把y=f(x)的圖像向左平移1個單位得到y(tǒng)=f(x+1)的圖像,再把y=f(x+1)的圖像關(guān)于y軸對稱后得到y(tǒng)=f(-x+1)的圖像.
一些抽象函數(shù)關(guān)系是所表示的函數(shù)性質(zhì)： 一個函數(shù)本身具有的性質(zhì) 兩個函數(shù)具有的性質(zhì)
f(1+x)=f(1-x) y=f(1+x)與y=f(1-x)
這個函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對稱 這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱
f(x+1)=f(x-1) y=f(x+1)與y=f(x-1)
這個函數(shù)是周期為2的周期函數(shù) 這兩個函數(shù)的圖像相差兩個單位(平移)
f(x-1)=f(1-x) y=f(x-1)與y=f(1-x)
這個函數(shù)是偶函數(shù) 這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對稱