高等數(shù)學(xué)中等價(jià)無窮小的問題
求當(dāng)x→0時(shí),(tanx-sinx)/(sinx)3的極限是多少?
根據(jù)等價(jià)無窮小的結(jié)論,當(dāng)x→0時(shí)tanx=x,sinx=x.因此上式可以轉(zhuǎn)化為(x-x)/x3,結(jié)果是0.
但是本人將式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換,tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx；(sinx)3=sinx(sinx)2.將兩式同時(shí)除以sinx,（顯然sinx≠0）,可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2],這里1-（cosx)2可以分解為（1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以,cosx≠1.因此上式可以同時(shí)約掉1-cosx；最后式子就成了1/cosx(1+cosx).最后的結(jié)果居然是1/2!
怎么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況?到底是等價(jià)無窮小錯(cuò)了還是我后面的推算有問題?