(1)、設(shè)焦點(diǎn)在X軸,雙曲線方程為:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
c/a=√2,(a^2+b^2)=2a^2,a=b,
x^2/a^2-y^2/a^2=1,
雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4,－√10),
代入方程,a=√6,
∴雙曲線方程為:x^2/6-y^2/6=1,這是實(shí)軸在X軸上,
而若實(shí)軸在Y軸,則點(diǎn)（4,-√10）代入沒有實(shí)數(shù)解,故焦點(diǎn)不可能在Y軸.
（2）、M（3,m)在雙曲線上,代入方程,
m=±√3,c=ea=√2*√6=2√3,焦點(diǎn)坐標(biāo)：F1（-2√3,0),F2(2√3,0),
向量F1M={3+2√3,3},向量F2M={3-2√3,3},
向量F1M·向量F2M=(3+2√3)i·(3-2√3)i+3j·(3-2√3)i+(3+2√3)i·3j+3j·3j=-3+3=0,
這里i和j是水平和垂直向量的單位分量,i和j點(diǎn)積為0,
同理m==-√3時結(jié)果相同,
∴向量F1M·向量F2M=0,二向量互相垂直.
可以用勾股定理,證明F1M^2+F2M^2=F1F2^2,或求出直線F1M和F2M斜率的互為倒數(shù)關(guān)系來證明二向量相垂直,而推出二向量點(diǎn)積為0.
（3）、在△MF1F2中,|F1F2|=2c=4√3,高=√3,
∴S△MF1F2=|F1F2|*h/2=4√3*√3/2=6.