（1）根據(jù)題意得，A（1，0），D（0，1），B（-3，0），C（0，-3）．
拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（-3，0），C（0，-3），則有：

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．
（2）存在．
△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點A為直角頂點．
如解答圖，過點A作直線AD的垂線，與拋物線交于點P，與y軸交于點F．
∵OA=OD=1，則△AOD為等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，則△OAF為等腰直角三角形，∴OF=1，F(xiàn)（0，-1）．
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，將點A（1，0），F(xiàn)（0，-1）的坐標代入得：

k+b=0 b=-1

，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1．
將y=x-1代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x-3得，x²+2x-3=x-1，
整理得：x²+x-2=0，
解得x=-2或x=1，
當x=-2時，y=x-1=-3，
∴P（-2，-3）；
②以點P為直角頂點．
此時∠PAE=45°，因此點P只能在x軸上或過點A與y軸平行的直線上．
過點A與y軸平行的直線，只有點A一個交點，故此種情形不存在；
因此點P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點只有點A、點B，故點P與點B重合．
∴P（-3，0）；
③以點E為直角頂點．此時∠EAP=45°，由②可知，此時點P只能與點B重合，點E位于直線AD與對稱軸的交點上，即P（-3，0）；
綜上所述，存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形．點P的坐標為（-2，-3）或（-3，0）．
（3）拋物線的解析式為：y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
拋物線沿射線AD方向平移

2

個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）²-4+1=x²+4x+1．