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    f(x)在x=0處可導(dǎo),有F(x)=f(x)(1+|sin x|),則證明F(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件是f(0)=0
    

    f(x)在x=0處可導(dǎo),有F(x)=f(x)(1+|sin x|),則證明F(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件是f(0)=0
    

    數(shù)學(xué)人氣：592 ℃時(shí)間：2020-07-21 16:45:36
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    F(x)=f(x)(1+|sin x|),F(0) = f(0)
    F'(0) = lim (x->0) [F(x) - F(0)] / x 
    = lim (x->0) [ f(x)*(1+|sinx| ) - f(0) ] / x
    = lim (x->0) [ f(x) - f(0) ] / x + lim (x->0) f(x) * |sinx| / x 
    = f '(0) + lim (x->0) f(x)* |sinx| / x
    lim (x->0+)|sinx| / x = 1,lim (x->0-) |sinx| / x = -1
    于是 lim (x->0) f(x)* |sinx| / x 存在 lim (x->0) f(x) = 0 
    f(x)在x=0處可導(dǎo),必連續(xù),故 lim (x->0) f(x) = f(0) = 0
    即 F(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件是f(0)=0.
    

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