電梯悖論中的1/2是怎么計(jì)算出來的?
在一幢摩天大樓里,有一架電梯是由電腦控制運(yùn)行的,它每層樓都停,且停留的時(shí)間都相同.然而,辦公室靠近頂層的王先生說：“每當(dāng)我要下樓的時(shí)候,都要等很久.停下的電梯總是要上樓,很少有下樓的.真奇怪!”李小姐對(duì)電梯也很不滿意,她在接近底層的辦公室上班,每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯.她說：“不論我什么時(shí)候要上樓,停下來的電梯總是要下樓,很少有上樓的.真讓人煩死了!”
電梯悖論首先出現(xiàn)在一本物理學(xué)家喬治·伽摩和他的朋友馬文·斯特恩寫的書——《數(shù)學(xué)之謎》中.在用一個(gè)電梯說明這個(gè)悖論時(shí),就象我們前面那樣,伽摩和斯特恩犯了一個(gè)小錯(cuò)誤.他們認(rèn)為,如果電梯不止一架,概率“自然還是同樣的”.
斯坦福大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家首先認(rèn)識(shí)到這個(gè)錯(cuò)誤.他在1969年7月的《娛樂數(shù)學(xué)雜志》上寫了一篇文章“伽摩—斯特恩電梯問題”.他指出,當(dāng)電梯增加后,在任何一層碰到電梯上樓和下樓的概率都接近1/2.
這種情況在一定程度上是比原來的悖論更令人感到矛盾了.這意味著,如果你在接近頂層等電梯,并只注意其中一個(gè)電梯門的話,那么將要到的那臺(tái)電梯可能上樓的概率較高.可是,如果不管那個(gè)電梯間的電梯都可以上,則將要到達(dá)的那臺(tái)電梯上、下樓的概率就不問了.這個(gè)概率在電梯數(shù)目接近無限時(shí)就接近于1/2.停在接近底層的電梯可能下樓的概率也是同樣的.
自然,我們假定電梯的運(yùn)行彼此無關(guān),它們的速度相等,且在每層樓的平均等待時(shí)間相等.如果電梯只有少數(shù)幾臺(tái),則概率稍有偏離.但如果有20臺(tái),則對(duì)所有各層來講,上、下樓的概率就非常接近1/2了,自然最頂層和最底層除外
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這段話出自《啊哈,原來如此》但是我不知道1/2究竟是如何計(jì)算出來的請(qǐng)來給我說一說,最好有計(jì)算過程.