求高階導(dǎo)數(shù)是泰勒公式,或者冪級(jí)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用.
主要是利用表達(dá)式的唯一性.
一方面,由定義,f（x）＝arctanx 的麥克老林公式中,x^n的系數(shù)是：f（n）（0） / n!,f（n）（0）表示在x＝0處的n階導(dǎo)數(shù).
另一方面,f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n）,所以,f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）
比較兩個(gè)表達(dá)式中x^n的系數(shù),得：
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f（x）在x＝0處的n階導(dǎo)數(shù)是0；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n＝2m＋1,f（x）在x＝0處的n階導(dǎo)數(shù)是：（－1）^m× （2m）!