已知正方形ABCD,P為對角線BD上一點,PE⊥BC于E,PF⊥CD于E,PF⊥CD于F 求證：（1）EF=AP （2）EF⊥AP

數(shù)學(xué)人氣：113 ℃時間：2019-11-12 13:01:35

優(yōu)質(zhì)解答

（1）連結(jié)PC,AC,
∵在正方形ABCD中,PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四邊形PECF是矩形,
其對角線EF=PC；
在正方形ABCD中,對角線BD與AC互相垂直平分,
∴BD是AC的垂直平分線,
又點P是BD上的一點,
∴由垂直平分線性質(zhì)可知,PA=PC,
∴PA=EF；
（2）延長FP交AD于點G,延長EP交AB于點H,延長FE交AD的延長線于點M,延長AP交EF于點Q,
易知,四邊形BFPH,四邊形DGPE都是正方形,
∴四邊形AHPG與四邊形PECF是全等矩形,
∴∠PAG=∠EPF,
又∠AMF=∠EFC,（內(nèi)錯角相等）,
∴∠PAG+∠AMF=∠EPF+∠EFC=90º,
∴在△AQM中,∠MAQ+∠AMQ=90º,
∠AQM=90º,即AP⊥EF.