設(shè)AB=1,則AA1=2,分別以向量D1A1,向量D1C1,向量D1D的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：
則D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
向量DB=(1,1,0),向量DC1=(0,1,-2),向量DC=(0,1,0),
設(shè)向量n=(x,y,z)為平面BDC1的一個(gè)法向量,則
向量n·向量DB=0
向量n·向量DC1=0
即
x+y=0
y-2z=0
取向量n=(-2,2,1),
設(shè)CD與平面BDC1所成角為θ,則sinθ=|向量·向量DC|/|向量n||向量DC|=2/3,
故答案為：2/3.
【解法2】：
如圖,設(shè)AA1=2AB=2,AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OC1,過(guò)C作CM⊥OC1于點(diǎn)H,連結(jié)DM.
∵BD⊥AC,BD⊥AA1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵CM屬于平面ACC1A1,
∴CM⊥BD．
∴CM⊥平面C1BD．
∴∠CDM為CD與平面BDC1所成的角．
OC1=√(CC1²+OC²)=3/√2.
.由等面積法得OC1·CM=OC·CC1,
∴CM=2/3.
∴sin∠CDH=CM/CD=2/3.
故答案為：2/3.
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