已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,設(shè)二面角A-A1B-D的大小為θ,則cosθ為?

數(shù)學(xué)人氣：377 ℃時(shí)間：2019-11-10 06:44:22

優(yōu)質(zhì)解答

本題可用體積法.過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線AM,垂足為M.過點(diǎn)A作AN⊥A1B于點(diǎn)N.顯然sinθ=AM/AN
設(shè)AA1=2AB=2a
AN=AA1*AB/A1B=2a*a/√(4a^2+a^2)=2√5a/5
V四棱錐A1-ABD=1/3*1/2*a^2*2a=1/3*S△A1BD*AM
A1D=A1B=√5a,BD=√2a,故S△A1BD=1/2*√2a*√[(√5a)^2-(√2a/2)^2]=3a^2/2
于是1/3*1/2*a^2*2a=1/3*3a^2/2*AM
AM=2a/3
于是sinθ=AM/AN=2a/3/(2/5)=√5/3
故cosθ=√(1-5/9)=2/3