這個函數(shù)是不可積的,但是它的原函數(shù)是存在的,只是不能用初等函數(shù)表示而已.
習(xí)慣上,如果一個已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達出來,就說這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”,否則就說它是“積不出”的函數(shù).比如下面列出的幾個積分都是屬于“積不出”的函數(shù)
∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx
∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b)
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以下是從別人那粘貼過來的..原函數(shù)我也不知道,
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下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞,下限為0）
因為sint/t不存在初等函數(shù)的原函數(shù),所以下面引入一個“收斂因子”e^(-xt)(x>=0),轉(zhuǎn)而討論含參量的積分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (積分上限為∞,下限為0）
顯然：
I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0）
I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (積分上限為∞,下限為0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞,下限為0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞,下限為0）
=-1/(1+x^2)
從而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(對t的積分原函數(shù),上限為∞,下限為0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)
即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)
對（1）式兩端取極限：
lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是（1）式為
I(x）=-arctan(x)+π/2
limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0）=π/2
因為sinx/x是偶函數(shù),所以
∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為-∞）
=π