1.反函數(shù)的概念
設(shè)y＝f(x)表示y是自變量x的函數(shù),它的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y＝f(x)中解出x,得到式子x＝φ(y).如果對于y在C中的任何一個(gè)值,通過x＝φ(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么x＝φ(y)就表示x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x＝φ(y)(y∈C)叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈A)的反函數(shù),記作x＝f-1(y),通常將它改寫成y＝f-1(x).
函數(shù)y＝f(x)的定義域是它的反函數(shù)y＝f-1(x)的值域；函數(shù)y＝f(x)的值域是它的反函數(shù)y＝f-1(x)的定義域.
函數(shù)y＝f(x)的圖像和它的反函數(shù)y＝f-1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對稱.
2.反函數(shù)概念的理解
反函數(shù)實(shí)質(zhì)上也是函數(shù).
反函數(shù)是相對于原函數(shù)而言,換句話說,反函數(shù)不能脫離原函數(shù)而單獨(dú)存在.
并不是所有的函數(shù)都有反函數(shù).例如函數(shù)y＝x2沒有反函數(shù).只有原象唯一的函數(shù),即對任意x1≠x2能推斷出f(x1)≠f(x2)成立的函數(shù)f(x)才具有反函數(shù)(這里x1、x2是f(x)的定義域內(nèi)的兩個(gè)值).
如果函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)y＝f-1(x),那么函數(shù)y＝f(x)也是其反函數(shù)y＝f-1(x)的反函數(shù),即它們互為反函數(shù).
函數(shù)y＝f(x)的定義域和值域分別是其反函數(shù)y＝f-1(x)的值域和定義域.
反函數(shù)的定義域和值域應(yīng)該正好是原來函數(shù)的值域和定義域.例如,函數(shù)y＝ (x∈Z)不是函數(shù)y＝2x(x∈Z)的反函數(shù),因?yàn)榍罢叩亩x域顯然不是后者的值域.因此,求函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)y＝f-1(x)時(shí),必須確定原來函數(shù)y＝f(x)的值域.
3.求給定解析式的函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù),其步驟為：
(1)從方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);
(2)將x、y互換,得到y(tǒng)＝f-1(x);
(3)根據(jù)y＝f(x)的值域,寫出y＝f-1(x)的定義域.
互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函數(shù)y＝x的反函數(shù)仍是y＝x,函數(shù)y＝ 的反函數(shù)仍是y＝ .
4.互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系
在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y＝f(x)與其反函數(shù)y＝f-1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對稱.特別地,當(dāng)函數(shù)與其反函數(shù)相同時(shí),函數(shù)的圖像本身關(guān)于直線y＝x對稱.
在y＝f(x)與x＝f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y＝f(x)中,x是自變量,y是x的函數(shù)；在x＝f-1(y)中,y是自變量,x是y的函數(shù).在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,y＝f(x)與x＝f-1(y)的圖像是同一個(gè)點(diǎn)集.
5.反函數(shù)具備的其它性質(zhì)
在y＝f(x)與y＝f-1(x)中,x、y所處的地位相同,但表示的量的意義不同.
若y＝f(x)(x∈A),與y＝f-1(x)(x∈C)互為反函數(shù),則有
f［f-1(x)］＝x(x∈C)；
f-1［f(x)］＝x(x∈A).
互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在它們各自的定義域具有相同的單調(diào)性.
奇函數(shù)若有反函數(shù),則其反函數(shù)也是奇函數(shù).
具有單調(diào)性的函數(shù)必有反函數(shù).
兩個(gè)互為反函數(shù)的圖像如果有交點(diǎn),它們的交點(diǎn)不一定在直線y＝x上.