數(shù)學(xué)問題不易從表面判斷難度,
自己想的題搞不好就和世界難題相關(guān).
好在你這道題目本身還算簡單.
由1/π是無理數(shù),可用抽屜原理證明:存在無窮多組正整數(shù)m,n,滿足|n/π-m| < 1/n.
對滿足上述要求的n,可知:
|n·sin(n)| = n·|sin(n)| = n·|sin(n-mπ)| ≤ n·|n-mπ| = πn·|n/π-m| < π.
于是存在一列趨于無窮的正整數(shù)n,使1/|n·sin(n)| > 1/π.
這說明1/(n·sin(n))不收斂到0,級數(shù)發(fā)散.
如果你進(jìn)一步問∑1/(n^a·sin(n))的斂散性,問題就復(fù)雜了.
從上面的證明可以理解,這與π可被有理數(shù)逼近的"程度"密切相關(guān).
有結(jié)論說對u = 7.6063...,至多有有限組正整數(shù)m,n使|π-m/n| < 1/n^u.
由此可以說明對a > u-1,通項(xiàng)1/(n^a·sin(n))收斂到0,
而對a > u,可證明級數(shù)絕對收斂.
上面給出的u是目前所知的最好結(jié)果(證明于2008年),
有猜想說對任意u > 2都是對的,但這只是猜想.