以下(mod ..)之前的等號表示同余符號
5^0=1(mod 31)
5^1=5(mod 31)
5^2=25(mod 31)
5^3=125=1(mod 31)
所以5模31的階為3
5^30+30=0(mod 31)
設(shè)下一個比30大的滿足條件的正整數(shù)N=30+k,k>=1
5^(30+k)+30+k=5^k+k-1=0(mod 31)
當(dāng)k=0(mod 3)時
5^k+k-1=1+k-1=k=0(mod 31)
k最小為3*31=93
當(dāng)k=1(mod 3)時
5^k+k-1=5+k-1=k+4=0(mod 31)
k=27(mod31)
由中國剩余定理可求得k=58(mod 93)
所以k最小為58
當(dāng)k=2(mod 3)時
5^k+k-1=25+k-1=k+24=0(mod 31)
k=7(mod31)
由中國剩余定理可求得k=38(mod 93)
所以k最小為38
綜上所述k最小為38
所以下一個比30大的滿足條件的正整數(shù)N=30+k=68