(p-1)!=-1(mod p).當僅當P為素數(shù)
P為素數(shù),那么P一定有原根
取模p的原根g,
則g^1,g^2,...,g^(p-1)關于模p都不相同,即它們關于模p正好構成1,2,...,p-1.也就是P的一個簡化系
所以
(p-1)!=g^1 *g^2 * ...* g^(p-1) = g^{p(p-1)/2}= {g^(p-1)}^{(p-1)/2} * g^{(p-1)/2}.
而g^(p-1)=1 (mod p)費馬爾小定理
g為原根,所以g^{(p-1)^2}!=1 (mod p),模p的乘法為一個乘法群,x^2=1,而x!=1則x=-1
所以 g^{(p-1)^2}=-1 (mod p)
即(p-1)!=-1(mod p).
證明完成!
其實還有很多證明方法.