介紹一個引理:設(shè)G是△ABC的重心,則MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG².
用向量法的證明最簡單,作為向量有MA = MG+GA,MB = MG+GB,MC = MG+GC.
于是MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG²+2MG·(GA+GB+GC) = GA²+GB²+GC²+3MG².
其中用到G是重心,故GA+GB+GC = 0.
由上面結(jié)論,GA²+GB²+GC² ≤ MA²+MB²+MC² = 4.
而AB²+BC² = GA²+GB²+GC²+3GB² = GA²+4GB²+GC².
同理BC²+CA² = GA²+GB²+4GC²,CA²+AB² = 4GA²+GB²+GC².
相加得AB²+BC²+CA² = 3(GA²+GB²+GC²) ≤ 12.
由均值不等式,AB²*BC²*CA² ≤ ((AB²+BC²+CA²)/3)³ ≤ 64.
故AB*BC*CA ≤ 8.
又易見△ABC等邊且M為其中心時,等號成立.
因此AB*BC*CA的最大值就是8.
已知點M是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三條邊長AB*BC*CA的最大值是
已知點M是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三條邊長AB*BC*CA的最大值是
數(shù)學(xué)人氣：773 ℃時間：2019-08-29 07:24:30
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