1.由題意知橢圓的焦點在x軸上,且離心率e=c/a=√3/2
令c=√3k,a=2k,k>0,則b=k
所以橢圓方程可化為：x²/4b² +y²/b²=1即x²+4y²=4b²
又橢圓過點（√3,1/2）,將此點坐標(biāo)代入方程可得：
3+1=4b²
解得b²＝1,則a²＝4
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²/4 +y²=1
2.由上易知a=2,b=1
則橢圓E的左頂點坐標(biāo)為A1(－2,0),右頂點坐標(biāo)為A2(2,0),上頂點坐標(biāo)為B(0,1)
易知以線段OA2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=1
而直線A1B的方程為x/(-2) +y/1=1即x-2y+2=0 (注：直線的截距式方程)
又圓C與上述圓關(guān)于直線A1B：x-2y+2=0對稱
所以兩個圓的圓心也關(guān)于直線A1B：x-2y+2=0對稱,且圓C的半徑r=1
以下求圓C的圓心坐標(biāo)（m,n）
有[n/(m-1)]*(1/2)=-1且(m+1)/2 -2*(n/2)+2=0
則n=-2m+2且m-2n+5=0
解得m=-1/5,n=12/5
所以圓C的方程為(x+1/5)²+(y-12/5)²=1
3.由題意設(shè)點P坐標(biāo)為 ( -1/5 +cost,12/5 +sint ) t∈[0,2π)
由上知A1(－2,0),B(0,1),則| A1B |=√5
又直線A1B的方程為x-2y+2=0
則點P到直線A1B的距離為：
d＝| -1/5 +cost-24/5 -2sint |/√5
＝| 5+2sint-cost |/√5
＝| 5+√5*[(2/√5)sint -(1/√5)cost] | /√5
令cosβ=2/√5,sinβ=1/√5
則d＝| 5+√5*(cosβsint -sinβcost) | /√5
=| 5+√5*sin(t -β) | /√5
所以當(dāng)sin(t -β)=1時,d有最大值為(5+√5)/√5＝√5 +1
因為三角形PA1B的面積S=1/2 *|A1B|*d
所以S最大值=1/2 *√5*(√5 +1)=(5+√5)/2