設(shè)四面體四個頂點(diǎn)分別是B、C、D、E,與四個頂點(diǎn)對應(yīng)的球分別為b、c、d、e.
球心分別為B1、C1、D1、E1,設(shè)球的半徑為r.
考慮球b與平面BCD的切點(diǎn)P的位置,根據(jù)對稱性,P點(diǎn)必在∠CBD的平分線上.
下面來求BP的長度：
B1在點(diǎn)B到面CDE的高線上,它與BP的夾角α是二面角B-CD-E的余角.
二面角B-CD-E=arccos(1/3)【這個很容易算出,用向量法或截面法】
∴sinα=1/3
cotα=√[1/(sinα)^2-1]=2√2
∴BP=rcotα=(2√2)r
BP在BD上的投影長為BP*cos30°=(√6)r
同理,設(shè)球d與平面BCD的切點(diǎn)為Q,Q在BD上投影長度為(√6)r
∴球b與d之間的距離2r就是BD去掉兩段投影的長度.
即：2r=a-2(√6)r
解得：r=a/[2(√6+1)]=(√6-1)a/10
即4球半徑為(√6-1)a/10