被平面Σ1：z=0,x²+y²≤4,下側(cè)
則Σ與Σ1構(gòu)成封閉曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被積函數(shù)只剩下y,由于區(qū)域關(guān)于xoz面對稱,y是奇函數(shù),所以結(jié)果為0
綜上,上面積分為0.
下面將補的Σ1減出去即可：
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫ y² dxdy
用極坐標(biāo)
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4|[0→2]
=-4π
因此原積分=0-(-4π)=4π
希望有幫助!呵呵!