正三棱錐頂點P在底面ABC的投影D是等邊三角形ABC的中心.
易知AD=根號3,從而 PD=根號(PA^2-AD^2)=根號3.
棱錐體積為PD*三角形ABC面積/3=9/4.
延長AD交BC于E,則AE為BC的中垂線.連接PE,
易知AE=3*(根號3)/2,PE=(根號15)/2.
在PD上取一點Q,使該點到底面的距離和該點到棱面的距離相等,
即過Q點作面PBC的垂線QF,使QD=QF.
則QF必與PE相交于點F,且QF為內(nèi)切圓的半徑.
直角三角形PQF與PED相似,有 PQ/QF=PE/ED. 即PD/QF-1=PE/ED,
又ED=(根號3)/2, 得內(nèi)切圓半徑 QF=(根號3)/(1+根號5).
內(nèi)切球的表面積4πQF^2=3π(3-根號5)/2.