證明：設(shè) f(x)＝lnx+

1

x

?

1

2

(x?1)2?[1+

2

3

(1?x)3](x＞0)，
則：f′(x)＝

1

x

?

1

x2

?(x?1)+2(1?x)2＝(x?1)3?

2x+1

x2

，
令f'（x）=0解得：x＝1或x＝?

1

2

(舍)，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0，也是唯一極小值，
∴f（x）的最小值為f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+

1

x

?

1

2

(x?1)2≥1+

2

3

(1?x)3．