過A作AE⊥CD交CD于點E,所以AE=DE=cos45°=√2/2,
以O(shè)為原點,AB為x軸,AE為y軸,AQ為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,
則有A(0,0,0),B(1,0,0),C(1-√2/2,√2/2,0),D(-√2/2,√2/2,0),M(0,0,1),N(1-√2/4,√2/4,0),O(0,0,2)
(1)可得：向量MN=(1-√2/4,√2/4,-1),向量OC=(1-√2/2,√2/2,-2),向量OD=(-√2/2,√2/2,-2)
設(shè)向量m=(x,y,z)是平面OCD的法向量,則有向量m*向量OC=0,向量m*向量OD=0
即(1-√2/2)x+,√2/2y-2z=0,-√2/2x+√2/2y-2z=0,解得x=0,z=√2/4y,令y=4得z=√2
所以向量m=(0,4,√2).因為向量m*向量MN=0,所以向量m⊥向量MN
又MN不在平面OCD上,所以直線MN平行平面OCD
(2)可得:向量AB=(1,0,0),向量MD=(-√2/2,√2/2,-1)
因為cos=(向量AB*向量MD)/(|向量AB|*|向量MD|)=(-√2/2)/(1*√2)=-1/2
所以異面直線AB與MD說成角的大小為60°.
(3)由(2)求得平面OCD的法向量為向量m=(0,4,√2)
又向量BO=(1,0,-2),cos=(向量m*向量BO)/(|向量m|*|向量BO|)
所以點B到平面OCD的距離d=|向量BO||cos|=|向量m*向量BO|/|向量m|=2/3