問(wèn)題不對(duì).
設(shè)E是n階單位矩陣,n>1,它同時(shí)也是對(duì)角矩陣,當(dāng)然也是準(zhǔn)對(duì)角矩陣,但E與任何矩陣都是可交換的.（這里認(rèn)為準(zhǔn)對(duì)角矩陣應(yīng)至少有兩個(gè)分塊,否則任意方陣都可視作一階分塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣.）
我見(jiàn)過(guò)一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題,或許你問(wèn)的問(wèn)題是這樣的：
設(shè)A＝{a_1*E_1 0 ...0
0 a_2*E_2 ...0
............
0 0 0 a_r*E_r}
(用!=表示不等于）
其中a_i != a_k 當(dāng)i !=k (i,k=1,2,...,r),E_i是n_i階單位矩陣,n_1+n_2+...+n_r=n,證明：與A可交換的只能是準(zhǔn)對(duì)角矩陣.
你能問(wèn)出這個(gè)問(wèn)題,我認(rèn)為你知道分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則,所以下面給出的證明用到分塊矩陣想必你能明白.
顯然與方陣可交換的只能是方陣.
設(shè)M＝{m_i,k}是n階方陣,m_i,k是n_i行n_k列的矩陣,M*A＝A*M,下證M是準(zhǔn)對(duì)角矩陣.
考慮M*A與A*M的第i行第k列的分塊,則有：
m_i,k*a_k*E_k=a_i*E_i*m_i,k,（其它的因?yàn)楹停ˋ中的）0相乘都沒(méi)有了）
也即：
（a_k-a_i)*m_i,k=0
所以,i != k 時(shí),m_i,k=0,這說(shuō)明m_i,k是準(zhǔn)對(duì)角矩陣.